Cari Blog Ini

Memuat...

Senin, 07 November 2011

Cara Mudah Untuk Belajar Matematika tentang aljabar


Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan sehari-
hari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian al-
jabar tersebut. Dalam topik aljabar permasalahan-permasalahan matem-
atika dinyatakan dengan suatu simbol (variabel) misalnya x. Simbol/variabel
x biasanya menggantikan suatu bilangan yang dicari.
Materi yang akan dibahas disini antara lain Hukum-hukum dasar aljabar,
pertidaksamaan dan persamaan, persamaan linear, persamaan kuadrat, re-
lasi dan fungsi
2 Sifat-sifat Dasar Aljabar
Operasi hitung yang berlaku dalam aljabar adalah penjumlahan, ditulis +,
perkalianyang ditulis £, : atau tanpa ditulis. Sedangkan hukum yang berlaku
adalah:
² Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
Untuk setiap a; b 2 R, jika a + b = c dan a £ b = d maka c; d 2 R
² Asosiatif (Pengelompokan)
Untuk setiap a; b; c 2 R maka berlaku a + (b + c) = (a + b) + c dan
a £ (b £ c) = (a £ b) £ c
² Ada elemen netral 0 untuk penjumlahan dan 1 untuk perkalian
Untuk setiap a 2 R maka berlaku a+0 = a = 0+a dan a£1 = a = 1£a
1
² Ada Elemen Invers yaitu ¡a (dibaca minus a) untuk penjumlahan dan
1
a untuk perkalian
Untuk setiap a 2 R maka berlaku a + (¡a) = 0 = (¡a) + a dan
a £ 1
a = 1 = 1
a £ a
² Komutatif
Untuk setiap a; b 2 R berlaku a + b = b + a dan a £ b = b £ a
² Distributif
Untuk setiap a; b; c 2 R berlaku a_ (b + c) = a £ b + a _ c
Berdasarkan sifat-sifat tersebut dapat memberikan akibat sebagai berikut:
² Untuk setiap a 2 R berlaku a £ 0 = 0
² Untuk a; b 2 R, jika a £ b = 0 maka a = 0 atau b = 0
² Untuk setiap a; b; c; d 2 R berlaku (a + b) £ (c + d) = a £ c + a £ d +
b £ c + b £ d
² Untuk setiap a; b 2 R berlaku
(¡a) £ b = ¡(a £ b) (1)
a £ (¡b) = ¡(a £ b) (2)
(¡a) £ (¡b) = a £ b (3)
2.1 Contoh - contoh
²
(x + 3) £ (x ¡ 4) = x £ (x ¡ 4) + 3 £ (x ¡ 4)
= x2 ¡ 4x + 3x ¡ 12
²
2(x ¡ 5) = 2x ¡ 2(5)
= 2x ¡ 10
²
12m2(5b + c2) = 12m2(5b) + 12m2(c2)
= 60m2b + 12m2c2
2
3 Persamaan dan Pertidaksamaan
Pernyataan atau kalimat yang menyatakan persamaan maupun pertidak-
samaan sering dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa contoh
masalah persamaan dan pertidaksamaan adalah:
² Dua buah buku tulis ini seharga empat kali harga pena
² Satu orang murid membayar biaya piknik sebesar Rp 60.000,-. Satu ke-
las terdiri dari sejumlah orang murid. Biaya piknik yang harus dikelu-
arkan untuk satu kelas tersebut adalah Rp 480.000,-. Berapa jumlah
murid dalam satu kelas?
² Amir lebih tua dibandingkan dengan Tono
² Harga gula di pasar paling murah per kilogram Rp 4000,-. Berapa kg
gula yang dapat dibeli seorang pemilik warung jika dia memiliki uang
sebesar Rp 165000,-?
Masalah-masalah diatas dapat dituliskan dalam bentuk aljabar sebagai
berikut:
² Misalkan x harga buku tulis dan y harga sebuah pena maka pernyataan
tersebut dapat dituliskan menjadi 2x = 4y
² 60000x = 480000, dengan x menyatakan jumlah siswa. Akan diten-
tukan nilai x.
² Jika x menyatakan umur Amir dan y menyatakan umur Tono maka
pernyataan tersebut dapat ditulis x > y
² 4000x · 165000, x menyatakan jumlah kilogram gula.
Masalah 1¡2 merupakan contoh masalah persamaan, sedangkan masalah
3 ¡ 4 menyatakan pertidaksamaan.
Beberapa soal pertidaksamaan maupun persamaan dapat berupa per-
samaan atau pertidaksamaan matematika tanpa diketahui permasalah real
yang berkaitan, seperti contoh berikut
3
3.1 Contoh Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaian, jika diberikan
1. 3x + 4 = 5 ¡ 2x
2. 2x ¡ 5 = 2
3 + 1
3. ¡3 < 2x ¡ 5 < 7
4. 2x + 4 < 5 dan 3 ¡ x ¸ 1
5. ¡2x + 3 ¸ 0 dan 4x ¡ 1 ¸ 0
3.2 Penyelesaian
Untuk menyelesiakan masalah persamaan dan pertidak samaan dapat di-
lakukan dengan cara menambahkan/ mengurangi kedua ruas dengan bilan-
gan yang sama sehingga suku-suku/komponen yang memuat variabel x ter-
pisah dengan komponen yang tidak memuat variabel (konstanta), kemudian
kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama sehingga diper-
oleh nilai x.
Misalkan pada contoh soal 1, kedua ruas ditambah 2x, diperoleh
3x + 4 + (2x) = 5 ¡ 2x + (2x)
5x + 4 = 5
kemudian kedua ruas ditambah dengan ¡4, sehingga diperoleh
5x + 4 + (¡4) = 5 + (¡4)
5x = ¡1
kemudian kedua ruas dikalikan dengan 1
5 diperoleh
5x
1
5
= ¡1
1
5
x =
¡1
5
Contoh 3 ¡3 < 2x ¡ 5 < 7, semua ruas ditambah dengan 5 sehingga
diperoleh
¡3 + 5 < 2x ¡ 5 + 5 < 7 + 5
2 < 2x < 12
4
semua ruas dikalikan dengan 1
2 diperoleh
2(
1
2
) < 2x(
1
2
) < 12(
1
2
)
1 < x < 6
Untuk contoh 4 dan 5 ada dua pertidaksamaan, oleh karena itu harus
dicari masing-masing penyelesian, kemudian digabungkan hasilnya. Contoh
4, 2x + 4 > 5 dan 3 ¡ x ¸ 1
² dari pertidaksamaan pertama diperoleh
2x + 4 + (¡4) > 5 + (¡4)
2x > 1
x >
1
2
² dari pertidaksamaan kedua diperoleh
3 ¡ x ¸ 1
3 ¡ x + (x) ¸ 1 + (x)
3 ¸ 1 + x
3 + (¡1) ¸ 1 + x + (¡1)
2 ¸ x
dari dua penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk gambar garis
bilangan yaitu
0.5 2
sehingga himpunan penyelesian dari soal tersebut adalah 1
2 < x · 2.
Hati-hati Apabila kedua ruas dikalikan dengan konstanta negatif (-)
maka tanda pertidaksamaan harus diubah.
5
3.3 Soal-soal
1. Suatu persegi diketahui kelilingnya 146 cm. Maka panjang sisi persegi
tersebut adalah ...
2. Umur ayah 10 tahun lebih tua dibandingkan umur paman. Jika umur
paman sekarang 37 tahun, berapa umur ayah 5 tahun lagi.
3. Tono mempunyai 4 ekor ayam betina dan dua ekor ayam jantan. Setiap
hari satu ekor ayam jantan menghabiskan 1,5 kali pakan ayam betina.
Jika setiap hari Tono menyiapkan minimal 3 kg pakan ayam. Berapa
kg minimal yang disiapkan untuk ayam betina.
4. Jarak tempuh sebuah mobil pada waktu t jam adalah s(t) = 40t + 10
km. Berapa jarak yang ditempuh setelah 3 jam 40 menit? berapa lama
waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 80 km?
5. Carilah nilai n yang memenuhi 1
8n + 3 = 3
8n + 5.
6. Carilah penyelesaian pertidaksamaan 3
4x ¡ 4 · x ¡ 6, dengan x 2 R.
7. Carilah penyelesaian pertidaksamaan dari 3x + 1 < 2x + 6 dengan
x 2 B.
4 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan maupun pertidaksamaan yang terdiri atau dua variabel atau
lebih yang berkaitan dinyatakan oleh sistem peramaan atau sistem pertidak-
samaan. Dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapi suatu masalah men-
genai sistem persamaan, selain itu juga ada masalah sistem pertidaksamaan,
misalnya
² Ali membeli apel dengan harga Rp10:000;¡ perkilo dan anggur dengan
harga Rp15:000;¡ perkilo. Ali membayar uang sebanyak Rp 100.000,-.
Sedangkan Ali hanya dapat mengangkut beban sebanyak 15 kg. Berapa
kilogram apel dan anggur yang harus dibeli oleh Ali.
² Seorang peternak ayam mempunyai 60 ekor ayam. Setiap hari men-
dapatkan paling sedikit 45 butir telur. Setiap hari dia membeli paling
banyak 20 kg jagung untuk makanan ayam. Telur ayam dijual satu
6
butir Rp 300,- sedangkan harga jagung adalah Rp 2000 perkilogram.
Berapa telur yang harus dihasilkan supaya peternak mendapat keun-
tungan dalam sehari.
Contoh lain dari masalah persamaan adalah sebagai berikut:
Suatu pagar kayu mempunyai bentuk persegi panjang dengan keliling
90 cm, dengan panjang pagar dua kali lebar pagar tersebut. Tentukan
ukuran pagar tersebut
² Umur ayah lima tahun lebih tua dari umur ibu. Umur Ibu dua kali
umur Tina. Jumlah umur ayah, ibu dan Tina adalah 80 tahun. Berapa
umur mereka masing-masing?
Contoh-contoh diatas dapat diselesaikan secara langsung (tanpa mem-
buat simbol) yang dikenal dengan masalah aritmatika, tetapi juga dapat
diselesaikan melalui pendekatan aljabar sebagai berikut:
² Masalah pertama, dide¯nisikan / ditulis x jumlah kg apel, y seba-
gai jumlah kg anggur yang dibeli. Model persamaan yang terbentuk
adalah:
10000x + 15000y = 180000 (4)
x + y = 15 (5)
Model di atas secara matematis dikenal dengan sistem persamaan li-
near dengan 2 persamaan dan 2 variabel, yaitu x dan y.
² Sedangkan masalah kedua dapat dinyatakan secara matematis sebagai
berikut: x menyatakan jumlah telur yang dihasilkan dan dapat dijual,
sedangkan y adalah jumlah jagung yang dibeli. Misalkan z sebagai
keuntungan/kerugian maka dapat dituliskan
300x ¡ 2000y ¸ 0 (6)
x ¸ 45 (7)
y · 20 (8)
² Masalah ketiga dapat dituliskan menjadi x menyatakan panjang pagar
sedangkan y menyatakan lebar pagar.
x + y = 90 (9)
x = 2y (10)
7
² Masalah keempat: x menyatakan umur ibu, y menyatakan umur ayah,
sedangkan umur Tina dinyatakan dengan z. Model matematikanya
x + 5 = y (11)
2z = x (12)
x + y + z = 80 (13)
4.1 Langkah-langkah Penyelesaian Sistem Persamaan
Linear
Misal diberikan sistem persamaan linear dua variabel dengan dua persamaan
adalah sebagai berikut:
2x + 2y = 8 (14)
¡4x + 6y = 4 (15)
Dalam menyelesaikan masalah persamaan linear tersebut ada beberapa cara
antara lain:
² Substitusi
Dari persamaan 14 diperoleh
x = (8 ¡ 2y)=2 (16)
kemudian nilai x yang diperoleh disubstitusikan kedalam persamaan
(15)
¡4(8 ¡ 2y)=2 + 6y = 4 (17)
¡32=2 + 8y=2 + 6y = 4 (18)
¡16 + (4 + 6)y = 4 (19)
10y = 4 + 16 (20)
y = 20=10 (21)
y = 2 (22)
sehingga diperoleh x = (8 ¡ 2(2))=2 = 2. Tampak bahwa penyelesaian
sistem persamaan tersebut adalah x = 2; y = 2.
8
² Eliminasi
Untuk mendapatkan nilai x dan y akan dilakukan eliminasi/penghilangan
salah satu variabel dengan cara mengalikan satu persamaan dengan
suatu konstanta sehingga koe¯sien dari variabel persamaan (14) yang
akan dihilangkan sama dengan koe¯sien variabel persamaan (15) (dika-
likan 2). Kemudian persamaan (14) dikurangi dengan persamaan (15).
2(2x + 2y = 8)
¡4x + 6y = 4
diperoleh
4x + 4y = 16
¡4x + 6y = 4
baris pertama ditambah baris kedua diperoleh
10y = 20
y = 2
setelah itu disubsitusi ke salah satu persamaan untuk mendapatkan
nilai x
² Metode Gra¯k
Penyelesian x dan y diperoleh dengan cara menggambarkan persamaan
garis dari persamaan(14) dan (14) pada koordinat kartesius, nilai x dan
y merupakan titik potong dari kedua garis tersebut.
Perlu diketahui bahwa sistem persamaan linear dapat diperluas menjadi
n persamaan dengan m variabel yang dicari untuk n;m ¸ 2.
4.2 Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesian dari sistem persamaan / pertidak-
samaan linear berikut
² 4x + 2y = 12
2x + y = 4
9
² x + 3y = 1
2x ¡ 3y = 2
² 4x + 5y = 3
x ¡ 3y = 1
² 2x + y ¸ 4
x + y < 3
2. Jika x = a dan y = b adalah penyelesaian dari sistem persamaan dua
variabel 2x + 3y = 4 dan 3x + 2y = ¡9 maka a + b adalah...
3. Jika jumlah dua bilangan asli adalah 61 dan selisihnya adalah 7, maka
hasil kali dua bilangan tersebut adalah ...
4. Harga dua buah pena dan 3 buah pensil adalah Rp 5.700,00. Harga
satu pena dan 2 pensil adalah Rp 3.300,00. Maka harga masing-masing
adalah...
5 Fungsi
Pada bab ini akan dibahas fungsi, daerah asal dan daerah hasil, bagaimana
menggambar suatu fungsi pada koordinat kartesius. Ada beberapa istilah
yang sering terjadi kesalahan dalam pemakaian, antara lain: relasi, pemetaan,
dan fungsi. Beberapa contoh relasi dan fungsi dapat digambarkan sebagai
berikut:
² Misalkan akan akan dibuat hubungan antara nama murid dan hobi atau
kegemaran murid. Disini terdapat dua himpunan yang akan dibuat
hubungannya yaitu himpunan nama murid misal
A = fAdi; Ita;Doni; Joko;Dina; Totokg
dan himpunan hobi, misal B = fTenismeja; menyanyi; renang; menarig
Pada masalah ini mungkin terjadi satu murid mempunyai dua atau
lebih hobi, sehingga satu elemen di A dapat dihubungkan dengan satu
atau lebih elemen pada B. Hubungan ini disebut dengan relasi.
² Misalkan akan dibuat hubungan antara nama murid dengan umurnya
misalkan A = fAdi; Ita;Doni; Joko;Dina; Totokg dan B = f12; 13; 15g.
Pada masalah ini setiap murid mempunyai satu umur, tidak mungkin
seorang murid mempunyai dua umur, sehingga setiap elemen pada A
10
hanya dapat dihubungkan dengan satu elemen pada B. Hubungan ini
disebut dengan fungsi.
Himpunan A disebut dengan daerah asal, sedangkan himpunan B disebut
dengan daerah hasil. Pada relasi bisa/boleh terjadi satu elemen dari daerah
asal A dipasangkan dengan dua elemen dari daerah hasil B, sedangkan pada
pemetaan atau fungsi satu elemen pada daerah asal A mempunyai tepat satu
pasangan di daerah hasil B.
Misalkan diberikan fungsi dari bilangan real ¡3 · x · 5 ke bilangan real
yang memenuhi aturan 3x ¡ 2. Kalimat tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut:
Misalkan A = fxj ¡ 3 · x · 5g
f : A ! B
f : x 7! f(x) = 3x ¡ 2
A disebut daerah asal (domain) dalam hal ini berupa interval, sedangkan B
merupakan daerah hasil (ko domain).
5.1 Contoh-contoh
1. f(x) = 2x2 ¡ 3x + 1; 0 · x · 6
2. h(x) = 3x + 6;¡3 · x · 3
3. g(x) = 3x¡2
x2¡1
4. f(x) =
p
3x + 2 + 4x
Untuk contoh 1 dan 2 telah diberikan/ditentukan daerah asal fungsi,
sedangkan untuk contoh 3 dan 4 tidak diberikan. Pada masalah fungsi,
sebelum menentukan daerah hasil f(x) perlu dikaji apakah fungsi tersebut
terde¯nisi atau tidak pada daerah daerah asal yang ditentukan, atau perlu
dikaji terlebih dahulu pada daerah mana/kapan fungsi tersebut terde¯nisi
(terde¯nisi berarti mempunyai hasil f(x) ada.
Seperti contoh (2) tidak mempunyai nilai pada x = §1, sehingga daerah asal-
nya adalah fx 2 Rjx 6= §1g, sedangkan contoh (1) tidak terde¯nisi untuk
3x + 2 · 0 atau x2
3
11
Beberapa fungsi tertentu yang perlu diketahui adalah fungsi konstan,
fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi polinomial, fungsi exponensial dan fungsi
logaritma.
5.2 Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi yang memetakan semua elemen dari
daerah asal ke bilangan real yang konstan, misalnya f(x) = 3; f(x) = 2; x 2
R
5.3 Fungsi Linear
Fungsi linear memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f(x) = ax + b
dengan a; b suatu konstanta. Contoh fungsi linear antara lain:
f(x) = 3x + 5
f(x) = ¡2x + 7
f(x) = 5x ¡ 3
Gra¯k fungsi linear berupa garis lurus dan fungsi linear dikenal juga den-
gan nama persamaan garis lurus.
Kemiringan dari garis lurus yang terbentuk dari fungsi linear disebut
dengan gradien atau kemiringan garis disimbolkan dengan m. Sehingga
suatu persamaan garis lurus yang terbentuk dari suatu fungsi linear f(x) =
mx + c dapat dituliskan y = mx + c. Dengan mengetahui gradien dan satu
titik yang dilaluinya maka dapat diperoleh persamaan garis yang memenuhi.
Selain itu dengan mengetahui gradien maka keterkaitan antara dua buah
garis atau lebih dapat diketahui.
Misalkan diberikan dua buah persamaan garis lurus y1 = m1x + c1 dan
y2 = m2x+c2. Dua buah garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan/gradien
yang sama (m1 = m2) dan dikatakan saling tegak lurus jika mempunyai gra-
dien "minus berkebalikan"(m1 = ¡ 1
m2
atau m1m2 = ¡1).
Contoh Soal
1. Persamaan garis g dan h adalah 2x ¡ y + 3 = 0 dan x + 2y ¡ 2 = 0.
Selidiki apakah kedua garis tersebut sejajar, saling tegak lurus atau
berimpit
12
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (3;¡2) dan mem-
punyai gradien m = ¡3.
3. Gra¯k penyelesian dari x + y = 4 dan ¡x + y = 2 adalah ...
4. Jika diberikan dua buah persamaan garis lurus 2x+y = 6 dan 2x¡4y =
9. Selidiki apakah kedua garis tersebut berpotongan, sejajar, saling
tegak lurus atau berimpit?
5. Carilah titik potong dari dua persamaan garis lurus 3x ¡ 2y = 12 dan
y = ¡2x + 5.
5.4 Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f(x) = ax2+
bx + c dengan a,b dan c suatu kontanta. Contoh fungsi kuadrat adalah:
f(x) = 3x2 + 2x + 5
f(x) = x2 ¡ 2x + 7
f(x) = ¡3x2 ¡ 5x ¡ 3
Beberapa masalah yang muncul pada fungsi kuadrat adalah nilai x pem-
buat nol ( tentukan x¤ sehingga f(x¤) = 0), nilai maksimum(minimum)
fungsi f(x¤) ¸ (·)f(x); 8x. Perlu diketahui bahwa menentukan nilai x se-
hingga f(x) = 0 adalah sama dengan mencari nilai akar-akar dari persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diperoleh dari rumus
ABC yaitu
x1;2 = b §
p
b2 ¡ 4acg=2 (23)
atau membentuk menjadi
(x ¡ a1)(x ¡ a2) (24)
dengan a2 = c=a; a1 + a2 = b=a. Misalkan x2 + 3x + 4 = 0 dapat ditulis
(x + 4)(x ¡ 1) = 0 sehingga diperoleh akar-akar x = ¡4 dan x = 1.
13
5.5 Menggambar Fungsi
Untuk menggambarkan dalam gra¯k kartesius maka terlebih dahulu hubun-
gan antara x dan f(x) dapat dinyatakan dalam pasangan terurut dua bilan-
gan (x; f(x)) yang dapat dituliskan dalam tabel. Sketsa Gra¯k suatu fungsi
dibuat berdasarkan tabel tersebut. Misalnya f(x) = 2x+3 untuk ¡2 · x · 3
dapat ditulis dalam tabel
x f(x)
-2 2(-2)+3
-1 2(-1)+3
0 2(0)+3
1 2(1)+3
2 2(2)+3
3 2 (3)+3
Berdasarkan tabel tersebut dapat dibuat himpunan pasangan terurut
f(¡2;¡1); (¡1; 1); (0; 3); (1; 5); (2; 7); (3; 9), sehingga diperoleh sketsa gra¯k.
Selain itu dalam menggambar gra¯k suatu fungsi ada beberapa langkah yang
F(x)=2x+3
-1.5
3
perlu dilakukan yaitu:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu y dengan menentukan nilai fungsi
f(x) untuk x = 0
2. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan menentukan nilai pem-
buat nol dari f(x)
3. Tentukan nilai f(x) untuk beberapa nilai x
14
4. Buat sketsa dengan menghubungkan titik-titik yang telah ada
Contoh 1. Gambarkan gra¯k f(x) = 3x + 5.
1. Tipot dengan sumbu y , karena f(0) = 3(0) + 5 = 5, sehingga tipot
dengan sb y adalah (0; 5)
2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f(x) = 3x + 5 = 0. Diper-
oleh 3x = ¡5 berarti x = ¡5=3. Jadi tipot dengan sumbu x adalah
(¡5=3; 0)
3. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh gra¯k
fungsi
Contoh 2. Gambarkan gra¯k f(x) = x2 ¡ x ¡ 6
1. Tipot dengan sumbu y , karena f(0) = (0)2 ¡ 0 ¡ 6 = 65, sehingga
tipot dengan sb y adalah (0; 6)
2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f(x) = x2 ¡ x ¡ 6 = 0. Untuk
fungsi kuadrat nilai x yang diperoleh adalah akar kuadrat dari f(x) =
0, karena x2 ¡x¡6 = (x¡3)(x+2) = 0 maka berlaku x¡3 = 0 atau
+2 = 0, sehingga diperoleh x = 3 atau x = ¡2. Jadi tipot dengan
sumbu x adalah (3; 0) dan (¡2; 0)
3. Untuk x = 1, f(1) = 1 ¡ 1 ¡ 6 = ¡6 untuk x = ¡1 f(¡1) = (¡1)2 ¡
(¡1)¡6 = ¡4 sehingga diperoleh titik lain yaitu (1;¡6) dan (¡1;¡4).
4. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh gra¯k
fungsi
5.6 Pemakaian Gra¯k suatu Fungsi
Salah satu manfaat mengambar fungsi / gra¯k adalah mencari penyelesaian
sistem persamaan linear dan sistem pertidak samaan linear.
Misalkan diberikan sistem pertidaksamaan berikut, tentukan himpunan
penyelesiannya
2x + y < 6 (25)
¡4x + 6y < 4 (26)
Untuk menyelesaikan masalah sistem pertidak samaan di sini digunakan
metode gra¯k,
15
² mula-mula sistem diubah menjadi sistem persamaan, yaitu dengan
mengubah tanda tidak sama menjadi sama dengan
2x + y = 6 (27)
¡4x + 6y = 4 (28)
² kemudian persamaan-persamaan tersebut digambarkan dalam gra¯k
2x+y=6
-4x+6y=4
6
2/3
1 3
² Untuk menentukan daerah-daerah yang memenuhi pertidaksamaan 25
dan 26 dapat dilakukan dengan mengambil titik-titik tertentu pada
gra¯k tersebut yang dibatasi oleh garis-garis yang dibentuk persamaan
27 dan 28, misalnya titik (0; 0) apakah memenuhi pertidaksamaan 25
dan 26
2:0 + 0 < 6
¡4:0 + 6:0 < 4
Tampak bahwa titik (0; 0) memenuhi pertidaksamaan tersebut sehingga
daerah yang memuat titk (0; 0) dan dibatasi oleh garis-garis persamaan
adalah salah satu himpunan penyelesaian. Kemudian dilakukan test
untuk titik yang terletak pada daerah lain yang dibatasi oleh garis-
garis persamaan.
6 Penerapan Dalam Masalah Real
Pemakaian aljabar khususnya aljabar dalam kehidupan sehari-hari antara
lain untuk mencari bentuk umum suatu permasalahan atau pemodelan, den-
gan membuat suatu model maka akan diketahui penyelesian-penyelesaiannya
sesuai dengan yang diinginkan. Beberapa contoh masalah yang termasuk
dalam bidang aljabar adalah:
16
1. Sebuah tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 2400 meter persegi
akan dibuat taman bunga. Sepanjang keliling taman ditanami rumput
dengan lebar 5m. Jika keliling taman bagian yang tidak ditanami
rumput adalah 160 m. Berapa ukuran panjang dan lebar tanah terse-
but.
2. Diberikan data lulusan SMP untuk 10 tahun berturut-turut. bagaimana
mengestimasi lulusan SMP pada 5 tahun kedepan?
3. Seorang peternak ayam mempunyai 60 ekor ayam. Setiap hari men-
dapatkan paling sedikit 45 butir telur. Setiap hari dia membeli paling
banyak 20 kg jagung untuk makanan ayam. Telur ayam dijual satu
butir Rp 300,-, sedangkan harga jagung 2000 rupiah perkilogram. Be-
rapa telur yang harus dihasilkan supaya peternak tersebut mendapat
keuntungan.
4. Kita tahu bahwa CO2 terdapat diudara. CO2 ini berasal dari asap
kendaraan bermotor dan polusi dari industri, pembakaran hutan dll.
CO2 tidak baik untuk kesehatan. Oleh karena itu perlu diketahui kon-
sentrasi CO2 pada suatu daerah. Misalkan dari penelitian diketahui
konsentrasi CO2 untuk beberapa tahun yaitu th 1965 sebesar 319.9
ppm, tahun 1970 sebesar 325.3 ppm, th 1980 sebesar 338.5 dan tahun
1990 sebesar 354 ppm. Permasalahan: Tentukan fungsi yang memp-
resentasikan data-data tersebut Berapa konsentrasi CO2 pada tahun
2000, 2005 dan 2010 Pada tahun berapa konsentrasi CO2 = 360 ppm
5. Setiap mobil mempunyai tingkat e¯siensi bahan bakar yang berbeda-
beda. Setiap waktu mobil terbaru mempunyai tingkat e¯siensi yang
lebih baik dari sebelumnya. Misalkan rata-rata e¯siensi bahan bakar
mobil (jml mil per galon) adalah sebagai berikut (1940,14.8), (1950,13.9),
(1960,13.4), (1970,13.5), (1980,15.5), 1986,18.3), (1991,21.7) Permasala-
han: Tentukan model tingkat e¯siensi bahan bakar Bagaimana tingkat
e¯siensi pada tahun 1990 dan 1995 Kapan terjadi tingkat e¯siensi=25
Untuk dua masalah terakhir merupakan pemakaian gra¯k untuk mem-
odelkan tingkat polusi udara dan tingkat e¯siensi bahan bakar. Langkah-
langkah untuk menyelesiakan permasalahan antara adalah:
² Plot data
17
² Tentukan bentuk gra¯k yang sesuai
² Tentukan persamaan yang sesuai.
Dalam hal ini bisa berupa persamaan linear, persamaan kuadratik atau
yang lainnya. Disini perlu dipilih kasus/permasalahan dengan bentuk
persamaan linear atau kuadratik.
² Tentukan koe¯sien dari persamaan tersebut.
Untuk menentukan koe¯sien dari persamaan tersebut maka dipilih 2
atau 3 nilai pasangan koordinat (x; y) yang dimasukkan kedalam sis-
tem persamaan linear atau kuadratik. Dengan memasukkan nilai-
nilai tersebut maka akan terbentuk sistem persamaan linear dua vari-
abel (untuk persamaan linear) atau tiga variabel (untuk persamaan
kuadratik).
² Prediksi untuk waktu yang akan datang.
Setelah koe¯sien diperoleh maka bentuk umum persamaan (fungsi) juga
akan diperoleh. Berdasarkan bentuk umum tersebut akan diprediksi
konsentrasi polusi udara atau e¯siensi bahan bahan untuk waktu yang
diinginkan.
7 Soal-soal
1. Nilai x yang memenuhi persamaan x¡3
2 = 2x+4
5 adalah ...
2. Himpunan penyelesaian dari 1
4 (x ¡ 3) ¡ 1
3 < 3x¡4
5 adalah...
3. Untuk pertidaksamaan 3x + 5 · 5x + 2, nilai x adalah...
4. Pemfaktoran bentuk 16x4 ¡ 36y4 adalah...
5. Bentuk sederhana dari 2x2+x¡3
16x4¡81 adalah...
6. Diberikan A = 2; 3; 4; 5 dan B = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 suatu pemetaan
g dari A ke B yang ditentukan oleh g(x) = 2x ¡ 1.
18
a. Daerah asal dari g adalah ...
b. Daerah hasil dari g adalah...
7. Diketahui fungsi kuadrat ditentukan oleh f(x) = x2 + 6x ¡ 3; x 2 R
maka titik balik dari fungsi tersebut adalah...
8. Jika diberikan fungsi g(x) = ax2 + bx + c dengan g(3) = 3; g(1) =
¡1; g(0) = 3 maka nilai a; b; c masing-masing adalah ...
9. Sederhanakan
a.
1
x ¡ 1
y
x
y ¡ y
x
b.
15 ¡ x ¡ 6x2
9x2
¡ 25
10. Persamaan garis yang melalui titik P(¡2; 4) dan Q(5;¡3) adalah
11. Tuliskan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x+2 dan
melalui titik (4; 5)
12. Arsirlah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi
(x; y)j ¡ 2 · y · 4;¡1 · x · 5
13. Atik dan Tuti bekerja pada sebuah konveksi pakaian. Atik dapat mem-
buat 4 baju dalam satu hari, sedangkan Tuti membuat 5 baju dalam
sehari. Jumlah waktu kerja mereka adalah 12 hari untuk menyelesiakan
53 buah baju. Tentukan masing-masing lama mereka bekerja (dalam
hari).
14. Daerah hasil dari fungsi f(x) = 5x + 3 untuk x 2 [1; 5] adalah ....
15. Daerah hasil untuk fungsi f(x) = ¡2x + 10 untuk x bilangan bulat
positif yang kurang dari 10 adalah...
19
8 Penutup
Modul ini ditulis berdasarkan pada beberapa literatur buku SMP dan modul
dari MGMP Matematika SMP Yogyakarta, oleh karena itu kami ucapkan
banyak terima kasih. Modul ini masih jauh dari sempurna masih perlu
diskusi dan masukan untuk perbaikan modul. Meskipun demikian kami
berharap modul ini dapat dipergunakan sebagai bahan diskusi dalam penga-
jaran Matematika SMP khususnya bidang aljabar.
References
[1] Adinawan, MC.dan Sugijono,1999, Seribu Pena Matematika SLTP Ke-
las 2, Erlangga
[2] Modul Algabar, PPPG Matematika SMp Yogyakarta
[3] Schaufele and Zumo®, 1995, Earth Algebra, Harper Collines College
Publishers
[4] Tim Studi guru SMP, 2006, Soal-Soal Uji Kompetensi Matematika SMP,
Pustaka Setia
20

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar